Число находящееся под знаком логарифма должно быть

§ Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов

Теперь, выражение Х-2 должно быть меньше (строго, так как знак в неравенстве оставляя по обе стороны только выражения, находящиеся под помни определение логарифма: логарифмом числа b по. Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. . Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно . так получилось как у вас. в знаменателе должен быть только log_3(х)в квадрате. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число основание «a » всегда должно быть больше нуля, и при этом не неизвестное значение « х» находится под знаком логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0.

Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае! Когда вы нашли значение t, необходимо вернуться к исходному уравнению и посмотреть, что именно мы обозначали этой буквой. В результате нам предстоит решить еще одно уравнение, которое, впрочем, будет значительно проще исходного. Именно в этом состоит смысл введения новой переменной.

Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого.

число находящееся под знаком логарифма должно быть

В первую очередь, нам нужно заменить число b: Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f x. Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию: При этом никаких ограничений на функцию f x не накладывается.

ОДЗ логарифма | Логарифмы

Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму. Давайте решим настоящую задачу. Давайте перепишем эту двойку следующим образом: В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2. Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом.

Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log.

число находящееся под знаком логарифма должно быть

Для этого нам необходимо провести следующие изменения: Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2.

Переписываем задачу с учетом этого факта: Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось: Мы нашли решение логарифмического уравнения. Хотя переменная х и стоит в аргументе.

Логарифмические уравнения и неравенства

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Повторяем логарифмы

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней: Переписываем наше большое уравнение: Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Переходим к канонической форме. Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы: Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе. А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании — вот тогда потребовалось бы проверять область определения.

Иначе велик шанс нарваться на лишние корни. Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: Иначе данная запись просто не имеет смысла. Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х. Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует. Случаи разного основания Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Начинаем решение логарифмических уравнений с совершенно разными основаниями, которые не являются точными степенями друг друга.

Пусть вас не пугают подобные задачи — решаются они ничуть не сложнее, чем самые простые конструкции, которые мы разбирали выше. Но прежде, чем переходить непосредственно к задачам, напомню о формуле решения простейших логарифмических уравнений с помощью канонической формы.

Рассмотрим задачу вот такого вида: Разумеется, буквально через минуту мы рассмотрим и такие случаи, когда вместо переменных а и b стоят функции, но сейчас не об. Как мы помним, число bнужно заменить логарифмом по тому же самому основанию а, которое стоит слева. Это делается очень просто: Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1.

Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения: Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы: Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то.

И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5. Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило: Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную.

Такое преобразование может существенно упростить решение. Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований. Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение: Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно: Исходное логарифмическое уравнение решено.

Мы получили два корня. Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически. Итак, первое уравнение решено. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.

Взгляните на наше уравнение: Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.

А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение: И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали. Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли. Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Повторяем логарифмы | Контент-платформа datendacon.tk

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения? Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход! Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в наше ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и .